Yarım açı toplam fark...

Selam arkadaşlar,

trigonometri tamamen 12/1 konusu mu? Yoksa toplam fark yarım açı formülleri 2.dönemde mi veriliyor?

Bu arada sadece "sin(x+y)" nin formülü bilindiğinde,

sin(x-y), cos(x+y), cos(x-y), sin(2x), cos(2x), tan(x+y), tan(2x), cot(x+y), cot(2x), bunların hepsi bulunabiliyor. Nasıl olduğunu bilmiyorsan yazabilirim.

Bilmiyorum yazabilirsen sevinirim

lütfen hocam :)

Önce merak edenler için, sin(x+y)’yi bulma yöntemlerinden biri aşağıda:

https://img.donanimhaber.com/upfiles/1213815/a03c5df8-fdf4-403f-82b3-b474d95a41d2.jpeg

https://i.ibb.co/HTq0nWY/sin-x-y.jpg

--------------------

sin(x+y)=sinx.cosy+cosx.siny, yani iki tane açının toplamının sinüsü =

“birinci açının sinüsü*ikinci açının cosinüsü+birinci açının kosinüsü*ikinci açının sinüsü”, böyle sözlü olarak öğrenilirse daha kolay gelebilir.

sin(x-y)'ye bakarsak, matematikte işimize geldiğinde her çıkarma işlemini toplama işlemi gibi düşünebiliriz, sin(x-y) şu demek:

"sin(x + (-y))", yani (x) ile (-y) açılarının toplamı, iki açının toplamının sinüsünü zaten yukarıdan biliyoruz,

birinci açının sinüsü*ikinci açının cosinüsü+birinci açının kosinüsü*ikinci açının sinüsü,

sin( x + (-y)) = sinx.cos(-y) + cosx.sin(-y), böyle bile bırakabiliriz, örneğin sin (45-30)'u bulacaksak direkt bu haliyle de bulabiliriz, devam edeceksek şunları bilmek lazım:

sinüs fonksiyonu tek fonksiyondur, yani her x için

sin(-x) = -sin(x),

cosinüs fonksiyonu çift fonksiyondur, yani her x için

cos(-x) = cos(x). O zaman

sin(x + (-y)) = sinx.cos(-y) + cosx.sin(-y) =

sinxcosy + cosx.(-siny), ikinci çarpımdaki eksiyi ortaya alırsak

sin(x+(-y)) = sinxcosy-cosxsiny.

Veya, sin(x+y) formülünde y gördüğümüz her yere (-y) yazarsak, yine sin(x-y)’yi bulmuş oluruz.

----------------------

cos(x+y)'ye gelince, şunu bilmek lazım:

iki açının toplamı=90 ise, bu açıların birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir, yani her alfa (α) açısı için,

sin(α)=cos(90-α) ve

cos(α)=sin(90-α).

Her α açısının kosinüsü için cos(α)=sin(90-α) geçerliyse, (x+y) açısının kosinüsü için de aynısı geçerlidir, yani

cos(x+y) = sin(90-(x+y)), sin'li olanın içini şu şekilde düzenleyip iki açının toplamının sinüsü haline getirirsek:

sin(90-(x+y))=sin((90-x)+(-y)), şimdi ifade iki açının toplamının sinüsü haline geldi, yani (90-x) ve (-y) açılarının toplamının sinüsü. İki açının toplamının sinüsünü zaten yukarıdan biliyoruz,

cos(x+y)=sin((90-x)+(-y))= sin(90-x).cos(-y)+cos(90-x).sin(-y) =

cosx.cosy+sinx.(-siny)=

cosx.cosy-sinx.siny.

Yani iki açının toplamının kosinüsü =

“açıların kosinüsleri çarpımı - açıların sinüsleri çarpımı”, yine sözlü olarak öğrenilirse daha kolay gelebilir.

------------

cos(x-y)’ye gelince, cos(x+y) formülünde y gördüğümüz her yere (-y) yazarsak çıkar, veya iki açının toplamının kosinüsü sözlü olarak öğrendiysek, cos(x-y)’yi 

cos(x + (-y)) olarak, yani (x) ve (-y) açılarının toplamının kosinüsü olarak düşünebiliriz, 

cos(x+ (-y)) = cosx.cos(-y)-sinx.sin(-y)=

cosx.cosy-sinx.(-siny)=

cosx.cosy+sinx.siny.

-----------------

sin(2x) demek sin(x+x) demek, iki açının toplamının sinüsüdür yani, biliyoruz,

sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx.

cos(2x)=cos(x+x), yani iki açının toplamının kosinüsü, bu da 

kosinüsleri çarpımı-sinüsleri çarpımıdır,

cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx = cos²x-sin²x. 

cos(2x)’in iki farklı açılımı daha var, şunun bilinmesi lazım: her x açısı için, 

cos²x+sin²x=1’dir, bu yüzden cos(2x) açılımında cos²x yerine (1-sin²x) yazabiliriz, o zaman ifade şuna döner:

cos(2x) = (1-sin²x)-sin²x = 1-2sin²x, bu diğer bir açılım. Ya da 

cos(2x)=cos²x-sin²x ifadesinde sin²x yerine (1-cos²x) yazabiliriz, o zaman da 

cos(2x)=cos²x-(1-cos²x) = 2cos²x-1, bu da diğer bir açılım.

-----------------

tan(x+y)’yi bulmak için, tanjantı sinüs ve kosinüslü olarak yazdıktan sonra tek yaptığımız şey; payı da paydayı da (cosx.cosy)’ye bölmek. Aşağıda yazdım.

tan(x-y) için, tan(x+y)’li eşitlikte y görülen her yere (-y) yazılınca tan(x-y) bulunur, 

ayrıca tan(2x)=tan(x+x)’dir yani iki açının toplamının tanjantıdır, tan(x+y)’de y görülen her yere x yazılınca tan(2x) bulunur. tan(x-y) ile ilgili şunu bilmek lazım; tanjant fonksiyonu tek fonksiyondur, çünkü 

tan(-x)= sin(-x)/cos(-x) = -sinx/cosx = -tanx, yani her x için

tan(-x)=-tanx, bu da tanjantın tek fonksiyon olması demek.

tan(x+y):

@M_dis @Penanggalan

Teşekkürler hocam ben bunu yazarken yarıda karıştırırdım...

Çok teşekkür ediyorum:)

Rica ederim

@M_dis @Penanggalan