Mutlak değer fonksiyonunun türevsiz olduğu noktalar

x=5'te türev var, ve sıfıra eşit. Polinomların grafiğinde, bir çarpanın kuvveti tek olduğunda fonksiyonun işaret değiştirdiğini biliyoruz, yani burada (x-5)^5 olduğu için, kuvvet tek olduğu için grafik x=5'te x ekseninin diğer tarafına geçecek, fakat bu çarpanın kuvveti 1'den büyük bir tek sayı olduğunda, grafik x eksenini dümdüz geçmiyor, orada kıvrılarak, düzleşerek geçiyor, hatta x=5'te türev sıfır olacak şekilde düzleşerek geçiyor. Desmos'tan şunun grafiğine bakarsak:

f(x)=(x-2)[(x-5)^5],

https://www.desmos.com/calculator/cp7wqaxguf

grafikte görüldüğü gibi x=5'te x ekseninin alt tarafından üst tarafına geçiyor ama grafik orada düzleşiyor, bunun mutlak değerini aldığımızda da, orada düzleştiğinden dolayı, yine sivri olmayacak bir şekilde oluyor. Mutlak değerinin grafiği:

https://www.desmos.com/calculator/zug4h2qo2e

Şöyle de düşünebiliriz, x=5 kökünün sol tarafında grafik x ekseninin altındaydı, ve x=5'e doğru türev yani eğim, pozitif değerlerden sıfıra yaklaşıyordu, bunun mutlak değerini aldığımızda x=5'in sol tarafında grafik üst tarafta oluyor, bu sefer de türev yani eğim negatif değerlerden yine 0'a doğru yaklaşıyor.

Mesela x³'ün grafiği, (x-0)³ olarak düşünelim, x=0'da kök var, kuvvet tek olduğu için x ekseninden geçerken işaret değiştirecek, ama kuvvet 1'den büyük olduğu için x=0'ta düzleşerek geçer, bu yüzden |x³|'ün grafiğinde de x=0'da sivri nokta oluşmaz,

h(x)=|x³| için h'(0)=0 olur.

Polinomda çarpanın kuvveti 1'den büyük olduğunda grafiğin o kökün olduğu yerde düzleşerek gitmesinin sebebi o noktada türevin sıfıra eşit olması, bunun kanıtı çok kolay:

f(x)=(x-a)^n, n>1, n tam sayı ise,

f'(x)=n*[(x-a)^(n-1)],

f'(a)=0.

Ayrıca |(x-a)^n|, n>1, n tam sayı için de x=a'da türevin sıfır olacağı yine kanıtlanabiliyor. Zaten sen de limit ile bunu yapmışsın.