İkizkenar üçgen sorusu

Kolay bir soru ama esas öğrenmek istediğim AByi b kadar uzattıktan sonra oluşacak (vardigi noktaya E diyelim) EDC ücgeninin ikizkenarliginin ispati nedir acaba bunu bir arkadasa anlatmaya calisiyorum, geosu biraz zayif da.

Evet bu

Teşekkür ederim hocam, çok sağ olun

Hocam burada bir hata var, sanırım cos teoremini tam yazmadan biraz öngörerek öyle düşündün, ama cos teoremini uygulayınca öyle olmadığını görebiliriz, bu söylediğin "açı-kenar-kenar" (AKK) durumu oluyor, yani iki üçgende ikişer kenarlar eşit, bir de bu kenarların arasında olmayan birer açıları eşitse bu iki üçgene eş üçgenler diyebilir miyiz? Böyle bir eşlik çeşidi her zaman yok, ama açının nasıl bir açı olduğuna göre böyle bir eşlik çeşidi olabiliyor. Şuradaki ABC ve ABD üçgenlerine bakarsak,

RESİM LİNKİ

İki üçgende de alfanın karşısı "b" uzunluğunda, ve açının bir kolu "a" uzunluğunda, ama ABC ile ABD eş üçgenler değil, ABD üçgeni üç açısı da dar açı olan bir üçgen, ABC üçgenindeyse ACB açısı bir geniş açı.

Cos teoreminde durum şöyle oluyor, BC=c, BD=d diyelim, illa c=d olmak zorunda mı, ona bakalım,

ABC üçgeninde:

b² = a²+c²-2ac.cosα,

ABD üçgeninde

b² = a²+d²-2ad.cosα,

b²'leri eşitleyince:

a²+c²-2ac.cosα = a²+d²-2ad.cosα, tek tarafa toplayıp çarpanlarına ayırmamız lazım,

c²-d² - 2ac.cosα+2ad.cosα = 0,

c²-d² -2a.cosα(c-d) = 0,

(c-d)(c+d) - 2a.cosα(c-d) = 0.

(c-d).(c+d-2a.cosα)=0. Burada iki durum var,

i) c-d=0, c=d.

ii) c+d-2a.cosα=0.

Burada ilk durum her zaman gerçekleşebilir, ama ikinci durum her zaman gerçekleşebilir mi, ona bakalım, alfanın dar, dik veya geniş açı olmasına göre durum değişiyor,

eğer alfa bir dar açıysa,

cosα>0,

-2a.cosα<0. Bu yüzden pozitif olan (c+d)'ye negatif olan (-2a.cosα) eklendiğinde sonuç 0 olabilir, yani evet, alfa bir dar açıysa ikinci durum gerçekleşebiliyor, c=d olmak zorunda değil,

iki üçgende ikişer kenarlar eşit, bir de bu kenarlar arasında olmayan birer açıları eşit olduğunda, eğer bu açı bir dar açıysa, üçgenler eş olmak zorunda değil, ikinci durum gerçekleşebilir. Yukarıdaki resim bunu gösteriyor, resimde alfa dar açı olduğu için, üçgende "a" ve "b" kenarları dışındaki üçüncü kenar için iki durum var, üçüncü kenar BC olabilir, ya da BD olabilir.

Eğer alfa dik açıysa, cosα=0'dır, (ii)'deki ifade

c+d=0'a döner, yani

c = -d. Böyle bir şeyin olması mümkün değil, çünkü c veya d uzunluklarından biri negatif olmak zorunda oluyor, veya ikisi de sıfır olmak zorunda oluyor, ikisi de mümkün değil, o zaman mecburen birinci durum doğrudur, yani c=d'dir, üçgenler eştir (KKK'den). Zaten alfa dik olduğunda durum "iki dik üçgende, birer dik kenar ve hipotenüsler eşitse o üçgenler eştir" durumuna dönüşmüş oldu, pisagordan da bunun doğru olduğunu biliyoruz, alfa dik ise AKK eşliği geçerli bir üçgen eşliği.

Eğer alfa geniş açıysa, cosα<0, (ii)'deki ifadede,

-2a.cosα>0,

c+d>0, bunları toplayınca

c+d-2a.cosα > 0 oldu, yani (ii) numaralı eşitliğin sağlanması mümkün değil, ifadenin sıfıra eşit olması mümkün değil. Mecburen birinci durum sağlanmak zorunda, eğer alfa geniş açıysa

c=d'dir, dolayısıyla üçgenler eştir (kenar-kenar-kenar'dan).

Yani "AKK" durumunda, eğer açı bir geniş açıysa, üçgenler eştir, AKK eşliği geçerli bir eşliktir. Nedense alfa geniş açı olduğundaki AKK üçgen eşliği pek öğretilmiyor, yalnızca alfa dik olduğunda durum öğretiliyor, ama geniş açı olunca da geçerli bir eşlik.

Yukarıdaki resimde alfa dar açı, dar açı değil de dik veya geniş açı kullanarak üçgeni oluşturmaya çalışırsak iki farklı şekilde değil de yalnızca tek bir şekilde üçgeni çizebildiğimizi görebiliriz. Soruda açı 115 derece, yani geniş açı olduğu için, ADC ve ADE üçgenleri eştir, DC=DE geliyor. ACE ikizkenar üçgen olduğu için AD simetri ekseni olmak zorunda oluyor.

Rica ederim hocam, ben de bir an, "AKK diye genel bir eşlik çeşidi varsa niye diğerleriyle birlikte anlatılmıyor ki?" diye sorguladım  Ama aslında dediğim gibi açı dik veya geniş olduğunda geçerli bir eşlik çeşidi olduğunun anlatılması lazım. Adı geçmişken sinüs teoremiyle de açıklamasını yapayım: iki üçgen olsun, ABC ve A'B'C' üçgenleri,

AB=A'B'=a,

AC=A'C'=b ve

m(ABC) = m(A'B'C') = α olsun, yani iki üçgende de ikişer kenar ve bu kenarlar arasında olmayan birer açılar eşit,

ACB ve A'C'B' açıları eşit olmak zorunda mı, ona bakalım, eğer eşit olurlarsa üçgenler eş olur.

ABC üçgeninde sinα/sin(ACB) = b/a,

A'B'C' üçgeninde sinα/sin(A'C'B') = b/a, yani

sinα/sin(ACB) = sinα/sin(A'C'B'),

sin(ACB)=sin(A'C'B').

Normalde sin(x)=sin(180-x) eşitliğinden dolayı

ACB ve A'C'B' açıları eşit de olabilir, veya bu açılar birbirlerini 180'e tamamlayan açılar da olabilir, yani biri dar biri geniş olup birbirlerini 180'e tamamlarlar. Ama şöyle bir şey oluyor, eğer alfa dar açı ise,

ACB ve A'C'B' açıları eşit olabilir, veya bu açılar birbirlerini 180'e tamamlayacak şekilde biri dar biri geniş açı olabilir. Fakat alfa geniş açı ise,

ACB veya A'C'B' açıları birbirlerini 180'e tamamlayan açılar olamazlar, çünkü o zaman birinin dar birinin geniş açı olması gerekir, örneğin ACB dar olur, A'C'B' geniş açı olur, o zaman üçgenlerin birinde, A'B'C' üçgeninde iki tane geniş açı olmuş olur, bu da mümkün değil. Bu yüzden açıların ikisi de dardır ve eşittirler, üçgenler eştir.

Alfa dik açı olduğunda da yine biri dar biri geniş açı olamaz, ikisi de dar açı ve birbirine eşit olmak zorunda, yine üçgenler eş gelir.