Hatalı olduğunu düşündüğüm polinom sorusu

Dediklerin doğru, böyle bir P(x) polinomu olamıyor. Soru "böyle bir P(x) polinomu olabilir mi" diye hiç düşünülmeden hazırlanmış, x yerine 2 yazıp bul demiş. Ama, senin de dediğin gibi,

P(x) ikinci derece olsa,

xP²(x)=5. derece, yani buradan x^5'li bir terim gelir,

(2x+1)P(x)=3. derece. Buradan x^5'li terimi götürecek bir terim gelmez, o x^5 durmaya devam eder, sonucun 6x yani 1. derece olması imkansız, sonuç da mutlaka 5. dereceden olur. Aynı şekilde P(x) 1. derece de olamıyor. P(x) sabit polinom olsa, P(x)=a deriz,

a²x+2ax+a=6x.

(a²+2a)x+a=6x.

Sorudaki eşitlik şu demek, her x için bu eşitlik sağlanmalı. Bunun için de aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalı,

Solda sabit terim a, sağda sabit terim 0, bu yüzden a=0 olmalı, ama

solda x'in katsayısı a²+2a, sağda x'in katsayısı = 6, bu yüzden

a²+2a=6 olmalı. a=0 olursa bu eşitlik sağlanmıyor. Yani P(x) sabit polinom da olamıyor

İşte yalnızca bu yorumunda hata var, ben de şimdi bununla ilgili yazıyordum cevap olarak. "x yerine 2 yazınca iki tane P(2) değeri geliyor, ama fonksiyonlarda tek değeri olur, bu yüzden bu fonksiyon olamaz" demişsin, bu yorum hatalı, çünkü buradaki olay şu, bu eşitliği sağlayan birden fazla P(x) polinomu var, her biri için de P(2) değeri farklı bir şeye eşit. Yani "bir P(x) polinomunda x yerine 2 yazıyoruz ve birden fazla değer geliyor" gibi bir durum yok. Örneğin şöyle bir eşitlik verilse ve yine P(2)'nin alabileceği değerleri sorsa:

5+P²(x)=x²+2x+6. Çözersek:

P²(x)=x²+2x+1. Sağdaki ifade (x+1)'in karesidir, ama o zaman aynı zamanda "-(x+1)"'in de karesidir, bu yüzden P(x) için 2 tane çözüm gelir,

P(x)=x+1 olabilir, veya P(x)=-(x+1)=-x-1 olabilir. Bunlardan da

P(2)=3 veya P(2)=-3 gelebilir. Soruda verdiği eşitlikte x yerine 2 yazarak çözsek de aynı şeyi buluruz:

5+[P(2)]²=2²+2*2+6=14,

[P(2)]²=9,

P(2)=3 veya P(2)=-3. Yani böyle bir soru tipinde "bir fonksiyon iki değere mi gidiyor o zaman" şeklinde yorum yapmak doğru değil. Doğrusu şu: bu eşitliği sağlayan farklı fonksiyonlar var, bunlar da x=2'de farklı değerler alıyorlar

👍 Rica ederim