Lineer cebirde iyi olan bir bakabilir mi ? (2. sayfa)

Bugün The Accountant filminin başrolündeki oyuncu gibi karekteri olan bir abimize rast geldim.

Bu abimiz 3x3'teki determinant bulmayı -yukarda Fuat Serkan Orhan hocamız gibi- 4x4'e de uygulayarak aradaki örüntüyü (bağıntıyı) göstermiş. Ve bunu güzel bir şekilde açıklamış.

Ben de kendime sordum: "o her zaman bilindik yöntem ile bunun arasındaki bağıntı nedir ?" diye. Hemen cevabımı aldım.

"MathTheBeautiful" kanalında bu videoları anlatıyor. "Lineer algebra" videoları kanalında mix halinde mevcut. İsteyen sırayla izleyebilir.

Burada 2x2 determinatın nerden geldiğini gösteriyor:

MathTheBeautifulyoutube

https://bit.ly/PavelPatreon https://lem.ma/LA - Linear Algebra on Lemma http://bit.ly/ITCYTNew - Dr. Grinfeld's Tensor Calculus textbook https://lem.ma/prep - Complete SAT Math Prep

https://www.youtube.com/watch?v=tF3zeNWvXDQ&list=PLlXfTHzgMRULWJYthculb2QWEiZOkwTSU&index=2

Burada 3x3 determinatın denklemini çıkartıyor:

MathTheBeautifulyoutube

https://bit.ly/PavelPatreon https://lem.ma/LA - Linear Algebra on Lemma http://bit.ly/ITCYTNew - Dr. Grinfeld's Tensor Calculus textbook https://lem.ma/prep - Complete SAT Math Prep

https://www.youtube.com/watch?v=_urtjOIA58o&list=PLlXfTHzgMRULWJYthculb2QWEiZOkwTSU&index=4

Burada 1x1, 2x2, 3x3,4x4 ve nxn determinantlarının arasındaki bağlantıya bi göz kırpıyor:

MathTheBeautifulyoutube

https://bit.ly/PavelPatreon https://lem.ma/LA - Linear Algebra on Lemma http://bit.ly/ITCYTNew - Dr. Grinfeld's Tensor Calculus textbook https://lem.ma/prep - Complete SAT Math Prep

https://www.youtube.com/watch?v=JR0yeDnxyfY&list=PLlXfTHzgMRULWJYthculb2QWEiZOkwTSU&index=10

Ve burada dananın kuyruğunu koparıyor, 1x1, 2x2, 3x3,4x4 ve nxn arasındaki örüntüyle(bağlantıyla) determinantın bir tanımını yapıyor:

MathTheBeautifulyoutube

https://bit.ly/PavelPatreon https://lem.ma/LA - Linear Algebra on Lemma http://bit.ly/ITCYTNew - Dr. Grinfeld's Tensor Calculus textbook https://lem.ma/prep - Complete SAT Math Prep

https://www.youtube.com/watch?v=D8rghkxf4eU&list=PLlXfTHzgMRULWJYthculb2QWEiZOkwTSU&index=13

Bu benim için tatmin edici bir tanımdı.

Özetlersem:

Bu bilindik yöntemde, şu videoda uygulandığı gibi;

The Organic Chemistry Tutoryoutube

This video explains how to find the determinant of a 4x4 matrix. My Website: https://www.video-tutor.net Patreon Donations: https://www.patreon.com/MathScienceTutor Amazon Store: https://www.amazon.com/shop/theorganicchemistrytutor Subscribe: https://www.youtube.com/channel/UCEWpbFLzoYGPfuWUMFPSaoA?sub_confirmation=1

https://www.youtube.com/watch?v=fWzUwrt1Z0s&t=553s

burada "Neden bir satır ve bir sütün seçip ordaki elamanı tutup, seçtiğimiz satır ve sütünun dışında kalan matrisin determinatı ile bu elemanı çarpıp diğer satırdakilere aynısını yapıp topluyoruz ? " diye merak etmiştim.

"MathTheBeautiful" kanalında gösterdiği gibi 2x2,3x3,4x4.. denklemlerin permüstasyon ile bir ilişkisi olduğunu gösterdi. Aslında ben bunu kombinasyon olarak da düşündüm.

Buradaki amaç: matrisin her satırı için bir sütün seçmemiz olduğudur: 1. satır için bir sütün seçmemiz gerek. Ve seçtiğimiz sütunu artık 2. satırda seçemeyiz, bununda yanında artık o satırı da artık seçmemiz gerek. Bu yüzden seçtiğimiz satır ve sütununun üstünü çiziyoruz.

2.satır içinde aynı şekilde bir sütun seçiyoruz ve bu satır ile sütunu artık seçemiyoruz. Bununda üstünü çiziyoruz. Satır bitene kadar aynı işlemi tekrarlıyoruz. Bu bütün olası seçimlerde bizim nxn determinatımızdaki terimleri veriyor, yani denklemin kendisini.

Mesala 3x3 matrisi için:

1. satır için 3 sütun'dan birini seçebiliriz.
2. satır için 2 sütun'dan birini seçebiliriz.
3. satır için 1 sütun'dan birini seçebiliriz.

Toplamda seçim adedimiz (3'ün 1'lisi).(2'nin 1'lisi).(1'in 1'lisi) =3.2.1 = 3!= 6 oluyor.(Sonuç permüstasyon ama bunun kombinasyondan geldiğini düşündüm.) Bu 3x3determinatın denklemindeki terim sayısı oluyor. Terim sayısını bulabildiğimiz gibi bu determinantının denkleminin her terimini de bulabiliriz.

Bunu, determinatın denklemindeki terimlerden birini alıp "bu terimler teker teker çarpanlarına bakılarak hangi satır ve sütun seçilerek oluşturulmuş" diye bakarsak daha iyi anlaşılacağını düşünüyorum. İlgilenen arkadaşlarımızdan yorumlarını da bekliyorum, düşümcemde hata varsa da lütfen yazınız.

@umit.evleksiz

Lineer cebirde vektörler ve skalerleri bir arada kullanıyoruz. Vektör uzayı dediğimiz kümenin elemanları vektörler, bir de ne zaman bir vektör uzayı ele alsak, orada skalerlerimizi ne olarak seçtiğimizi de belirtiriz. Skalerlerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapabilmek istediğimiz için, onların "cisim" (ingilizce field) adı verilen bir cebirsel yapı olmasını istiyoruz. Karmaşık sayılar da rasyonel ya da reel sayılar gibi bir cisim oluşturduğundan, c katsayılarını karmaşık sayı da seçebiliriz. Ben de skalerleri ve vektörleri karmaşık sayılar seçtiğimiz durumdan bir örnek vermeye çalışmıştım.

Karmaşık sayılar kümesini vektör uzayı olarak alacaksak, skalerleri rasyonel mi, reel mi, karmaşık mı seçtiğimiz çok fark yaratıyor. Örneğin vektör uzayımızın boyutu skalerlerin rasyonel olduğu durumda sonsuz, reel olduğu durumda 2 ve karmaşık olduğu durumda 1.

İki karmaşık sayıyı çarpmak ne anlama geliyor demişsin. Ne kast ettiğine emin değilim. Bu aritmetik bir işlem. Bu işleme göre sıfır hariç her karmaşık sayının bir tersi de var. Bu işlemin geometrik olarak karmaşık sayılara ne yaptığına bakabilirsin.

İstersek reel sayıları da reel skalerler üzerine bir boyutlu bir vektör uzayı olarak görebiliriz, teorik olarak bundan çok farklı değil yaptığımız. Reel sayılar kümesi, vektör toplaması ve reel skalerlerle çarpmaya göre bir vektör uzayı oluşturur. Ben aynısını karmaşık sayılarla yaptığımız bir örnek yazmıştım.

İkinci örneğimi de şöyle yazmaya çalışayım. f, R^2'den kendisine bir fonksiyon olsun. Eğer R^2'deki bir (a,b) vektörü için a veya b sıfırsa f((a,b))=(a,b), eğer hem a hem de b sıfırdan farklıysa f((a,b))=2*(a,b) olsun. Bu fonksiyon f(cv)=cf(v) özelliğini sağlar, ancak f(v+w)=f(v)+f(w) özelliğini sağlamaz. Örnek olarak v=(1,0) ve w=(0,1) durumuna bakabilirsin.

Elinize sağlık Can hocam, konuyu aydınlattığınız teşekkür ederim.

Diğer arkadaşlara da yardımları için ayrı ayrı teşekkür ediyorum. @umit.evleksiz @aao112