Matematiksel sabit 'e' nedir..?

quote:

uzun zamandır çözemediğim bir bilmeceydi e*. hani pi anlaşılır bir irrasyonel sayıydı. bir çemberin çevresini çapına böldüğünüzde elde ediyordunuz 3,14159265… şeklinde giden bu gizemli sayıyı. fakat e sayısı da neydi acep. wiki miki de hak getire. doğal logaritma cevabı üstel exp(x)=e^x 'e paslıyordu, o da diğerine. ln(exp(x))=x anladık da çok da anlamadık hani. ne ulan e?

aslında e sayısı büyüme oranının (büyüme belirli bir değerden başlayarak sürekli artma anlamında kullanılıyor) limitte aldığı değer tanım itibarı ile. kafaları biraz daha karıştıracağız ama zenon' un paradokslarından* birinde, tavşan koşu yarışında avans verdiği kaplumbağaya yetişmek için an be an aradaki mesafenin yarısını kateder ve zenon der ki: “hacı nasıl olacak bu iş sen yolu hep yarıya bölüyorsun ama hep bir yarım olacak bölündükçe mesafe”. limit teoreminin keşfine değin kafaları meşgul etmiş olan gayet de esaslı bir sorudur.

neyse e ye dönelim. örneğin bankada 1 lira paramız olsun ve bu para her yıl ikiye katlanacak şekilde vadelenmiş olsun. şimdi biz bir yılın sonunda bankaya gittiğimizde evet sizin 1 liranız vardı ve bir yılda %100 artışla 2 liranız oldu diyen güleryüzlü bankacıdan paramızı alalım. bir şeylerden işkilleniyoruz ve eve gidiyoruz. kağıt kalemi alıyoruz. her yıl %100 artacak paramız yani 1. yılın sonunda 2, ikinci yılın sonunda 4 liramız olacak şekilde gelişen bir süreç:

1lira---(1 yıl geçer)-->2lira---(1 yıl geçer)-->4lira--->

bu süreci matematiksel olarak ifade ettiğimizde x. yılın sonundaki toplam para miktarını 2^x olarak buluruz. yani

toplam_para(x)=2^x

bu ifadeyi genelleştirmek için para iki katına çıkmasın da belirli bir oranda artsın. o zaman genelleştirilmiş toplam para miktarı:

toplam_para(x)=(1+%artış_oranı)^x

olacaktır. diyelim ki bankada parası olan arkadaşımız küçükken bir mini çakal olsun ve bankaya giderek şöyle bir teklifte bulunsun: şimdi 1 sene bekleyeceğime 1 yılı 6 aylık iki ayrı döneme ayıralım ve artış oranını da ikiye bölelim. yani her dönem parama %50 faiz gelsin. işe yeni başlamış çömez bankacımız da bu teklifi makul bulur ve kabul eder. yeni durumda artışlar:

1lira---(6ay geçer %50 faiz)-->1,50lira---(6ay geçer %50 faiz)-->2,25lira---> ..

şimdi ne oldu? vadeyi daha da kısaltıp oranı sabit tuttuğumuzda 0,25 lira daha kar ettik. benzer şekilde yılı 3e bölüp her ay için %33 faiz isteseydik:

1lira---(4ay geçer %33 faiz)-->1,33lira---(4ay geçer %33 faiz)-->1,77lira---(4ay geçer %33 faiz)-->2,37lira

vade süresi kısaldıkça sonuç miktar artıyor. diyelim ki bu vade süresi nano saniye(10-9) hatta atto saniye(10-18) değerlerine kadar düşsün. bu miktar sürekli artacak mıdır ?

işte limit teoremi burada yardımımıza yetişir. vadeler arası zaman sıfıra ve vade sayısı “x” sonsuza giderken toplam miktar ne olur ?

önce toplam parayı zamanın oranı şekline getirelim:

toplam_para(x)=(1+%artış_oranı)^x = (1+(1/x))^x

limit teoremi:

lim (x->sonsuz) toplam_para(x)= lim (x->sonsuz) (1+(1/x))^x = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669...

bu sayı tanıdık geliyor değil mi? e burada aynı c* gibi bir hız limiti. sürekli durumda her bir parçaçık kendini ikiye katlıyorsa(bakteri olsun bunlar sürekli çoğalsınlar) toplam sayı bölünme hızına bağlı olarak sürekli artar mı, yoksa bir değere doğru doyuma mı giderin cevabıdır bu. 1 liramız %100 faizle olup olabileceği en büyük değer 1e dir yani 2.718.. 2.72 olmaz bu değer vade süresi ne kadar düşerse düşsün. aslında çok derin felsefi çıkarımları var bu sayının: sonsuzluk, zamanın küçük parçalarındaki fraktal yapılar,…

ps: hep %100 artım dedik yıllık değer için ama diğer durumlar için de büyüme oranı sabiti geçerliliğini korur. örneğin %50 yıllık artışı ele alalım:
e=lim (x->sonsuz) (1+1/x)^x
%50 faiz: lim (x->sonsuz) (1+0.5/x)^x = lim (x->sonsuz) (1+1/2x)^x
y=2x olsun. ifade yeni haliyle;
lim (x->sonsuz) (1+1/2x)^x= lim (x->sonsuz) (1+1/y)^(y/2)=e^(1/2)=karekök(e) olur ;)

quote:

Orijinalden alıntı: Albért Einstein

biraz hort gibi olacak ama cidden ilgimi çekti bu sayı. ekşisözlükte bir adam çok güzel açıklamış. yani somut olarak bir tabana oturtmuş e sayısını.

Aynen alıntılıyorum.

http://www.eksisozluk.com/show.asp?id=21284321

quote: uzun zamandır çözemediğim bir bilmeceydi e*. hani pi anlaşılır bir irrasyonel sayıydı. bir çemberin çevresini çapına böldüğünüzde elde ediyordunuz 3,14159265… şeklinde giden bu gizemli sayıyı. fakat e sayısı da neydi acep. wiki miki de hak getire. doğal logaritma cevabı üstel exp(x)=e^x 'e paslıyordu, o da diğerine. ln(exp(x))=x anladık da çok da anlamadık hani. ne ulan e? aslında e sayısı büyüme oranının (büyüme belirli bir değerden başlayarak sürekli artma anlamında kullanılıyor) limitte aldığı değer tanım itibarı ile. kafaları biraz daha karıştıracağız ama zenon' un paradokslarından* birinde, tavşan koşu yarışında avans verdiği kaplumbağaya yetişmek için an be an aradaki mesafenin yarısını kateder ve zenon der ki: “hacı nasıl olacak bu iş sen yolu hep yarıya bölüyorsun ama hep bir yarım olacak bölündükçe mesafe”. limit teoreminin keşfine değin kafaları meşgul etmiş olan gayet de esaslı bir sorudur. neyse e ye dönelim. örneğin bankada 1 lira paramız olsun ve bu para her yıl ikiye katlanacak şekilde vadelenmiş olsun. şimdi biz bir yılın sonunda bankaya gittiğimizde evet sizin 1 liranız vardı ve bir yılda %100 artışla 2 liranız oldu diyen güleryüzlü bankacıdan paramızı alalım. bir şeylerden işkilleniyoruz ve eve gidiyoruz. kağıt kalemi alıyoruz. her yıl %100 artacak paramız yani 1. yılın sonunda 2, ikinci yılın sonunda 4 liramız olacak şekilde gelişen bir süreç: 1lira---(1 yıl geçer)-->2lira---(1 yıl geçer)-->4lira---> bu süreci matematiksel olarak ifade ettiğimizde x. yılın sonundaki toplam para miktarını 2^x olarak buluruz. yani toplam_para(x)=2^x bu ifadeyi genelleştirmek için para iki katına çıkmasın da belirli bir oranda artsın. o zaman genelleştirilmiş toplam para miktarı: toplam_para(x)=(1+%artış_oranı)^x olacaktır. diyelim ki bankada parası olan arkadaşımız küçükken bir mini çakal olsun ve bankaya giderek şöyle bir teklifte bulunsun: şimdi 1 sene bekleyeceğime 1 yılı 6 aylık iki ayrı döneme ayıralım ve artış oranını da ikiye bölelim. yani her dönem parama %50 faiz gelsin. işe yeni başlamış çömez bankacımız da bu teklifi makul bulur ve kabul eder. yeni durumda artışlar: 1lira---(6ay geçer %50 faiz)-->1,50lira---(6ay geçer %50 faiz)-->2,25lira---> .. şimdi ne oldu? vadeyi daha da kısaltıp oranı sabit tuttuğumuzda 0,25 lira daha kar ettik. benzer şekilde yılı 3e bölüp her ay için %33 faiz isteseydik: 1lira---(4ay geçer %33 faiz)-->1,33lira---(4ay geçer %33 faiz)-->1,77lira---(4ay geçer %33 faiz)-->2,37lira vade süresi kısaldıkça sonuç miktar artıyor. diyelim ki bu vade süresi nano saniye(10-9) hatta atto saniye(10-18) değerlerine kadar düşsün. bu miktar sürekli artacak mıdır ? işte limit teoremi burada yardımımıza yetişir. vadeler arası zaman sıfıra ve vade sayısı “x” sonsuza giderken toplam miktar ne olur ? önce toplam parayı zamanın oranı şekline getirelim: toplam_para(x)=(1+%artış_oranı)^x = (1+(1/x))^x limit teoremi: lim (x->sonsuz) toplam_para(x)= lim (x->sonsuz) (1+(1/x))^x = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669... bu sayı tanıdık geliyor değil mi? e burada aynı c* gibi bir hız limiti. sürekli durumda her bir parçaçık kendini ikiye katlıyorsa(bakteri olsun bunlar sürekli çoğalsınlar) toplam sayı bölünme hızına bağlı olarak sürekli artar mı, yoksa bir değere doğru doyuma mı giderin cevabıdır bu. 1 liramız %100 faizle olup olabileceği en büyük değer 1e dir yani 2.718.. 2.72 olmaz bu değer vade süresi ne kadar düşerse düşsün. aslında çok derin felsefi çıkarımları var bu sayının: sonsuzluk, zamanın küçük parçalarındaki fraktal yapılar,… ps: hep %100 artım dedik yıllık değer için ama diğer durumlar için de büyüme oranı sabiti geçerliliğini korur. örneğin %50 yıllık artışı ele alalım: e=lim (x->sonsuz) (1+1/x)^x %50 faiz: lim (x->sonsuz) (1+0.5/x)^x = lim (x->sonsuz) (1+1/2x)^x y=2x olsun. ifade yeni haliyle; lim (x->sonsuz) (1+1/2x)^x= lim (x->sonsuz) (1+1/y)^(y/2)=e^(1/2)=karekök(e) olur ;)