Süper lys soruları Çözümlü! Son 2 soru!

Mathematician0

Binbaşı

1092 Mesaj

Tüm Başarılarını Gör

Arkadaslar 200'ü askin sorum var bunun yarisini dersanede çözdürdüm yarisinida burda çözelim lütfen acil simdiden herkese tesekkürler! 6

ÇÖZÜLMEYEN SORULAR!; 8.SORU, 11.SORU,

Bütün emeklerinden dolayı ''ALACAKARANLIK'' a teşekkürler...

ÇÖZÜMLER!
1.soru;x+3 tam böler 44+2x 2 parantezi alıp yukarıda tam sayı bırak 38/x+3 kalıyor.yapıyorsun 38 in bölerleri 19,2,38 x+3 bunlara eşitleyip toplayınca 51 çıkıyor.

2.soru;a+b=-c, b+c=-a, a+c=-b -(abc)=-12 3.soruda (a+b).(a^2-ab+b^2)'de ayni ifadeleri götür digerinde payda esitleyip - parantezine al. Onun sayesinde (a^2-ab+b^2)'ler gidecek geriye b/-(a-2b) kaliyor

3. soru
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

a²-ab+2b² = (a-2b)(a+b)

(a+b)(a²-ab+b²) / (a-2b)(a+b) = a²-ab+b² / a-2b

a - (a²+b²)/b = ab-a²-b² / b

Aralarında bölme işareti (:) var. Sağdakinin payıyla paydası yer değiştirir, çarpım durumuna geçilir.

(a²-ab+b²)/(a-2b) . (b)/[-(a²-ab+b²)] =

-b / a-2b =

b / 2b-a olur.

4. soru
Denklemin reel köklerinin ikisi de negatifse, bunların çarpımları pozitif olur.

Kökler çarpımı (1-a)/1 = 1-a'dır.

1-a > 0

a < 1 olmalıdır.

Denklemin reel köklerinin ikisi de negatifse, bunların toplamları da negatif olur.

Kökler toplamı -(a+2)/1 = -a-2'dir.

-a-2 < 0

-a < 2

a > -2 olur.

Denklemin reel iki kökü olduğuna göre diskriminantı sıfırdan büyük olmalıdır.

(a+2)² - 4.(1).(1-a) > 0

a² + 4a + 4 - 4 + 4a > 0

a² + 8a > 0

a(a+8) > 0

Kritik noktalar: a=0 ve a=-8

_____|-8|________|0|___________
-- + -- | ---- - ------ | ----- + ------

İşaret tablosuna göre aranan aralıklar (-∞,-8) ve (0,∞) olur.

Bu 3 durumun kesiştiği aralık da şudur: (0,1).

5.soru;16x yerine 8x=pi/2 yaz. payi toplamdan açinca 2.sin3x.cosx, paydadaki cos5x'i sin3x olarak yaz. ifadelerin hepsi sadelesiyor geriye 2 kaliyor

6. soru
Köşeli parantezin içini yapalım.

sin²x = 1-cos²x

1-cos²x / 1-cosx = (1-cosx)(1+cosx) / 1-cosx = 1+cosx

cos²x = 1-sin²x

1-sin²x / 1+sinx = (1-sinx)(1+sinx) / 1+sinx = 1-sinx

(1+cosx) - (1-sinx) = 1+cosx-1+sinx = cosx+sinx gelir.

Köşeli parantez ile sağdaki sinx+cosx arasında bölme işareti (:) var.

cosx+sinx / sinx+cosx = 1 olur.

7. soru
z(1) = cis30
z(2) = cis15

z(1)^12 = cis(30.12) = cis360
z(2)^12 = cis(15.12) = cis180

z(1)^12 + z(2)^12 =

cis360 + cis180 =

(cos360 + isin360) + (cos180 + isin180) =

(1) + (-1) = 0 olur.

8.soru;

9. soru
Parabolün denklemini oluşturalım. Tepe noktası (4,0) ve y eksenini x=0 için y=16'da kesiyor.

f(x) = a(x-4)²

x=0 için 16a = 16'dan a=1 gelir.

f(x) = (x-4)²'ymiş.

Şimdi |OA| = x birim olsun. A noktasının koordinatları (x,0) olur. B noktasının da apsisi x olur. Buradan B noktasının ordinatını (x-4)² buluruz ki bu da bize |OC| ve |AB|'yi verir.

Dikdörtgenin bir kenar uzunluğu x birim, diğer kenar uzunluğu da (x-4)² olur. Çevresini veren, x'e bağlı bir Ç(x) fonksiyonu yazabiliriz.

Ç(x) = 2[x + (x-4)²]

Bizden bunun maksimum noktasının apsisini istiyor. 1. türevini sıfıra eşitleyerek bulabiliriz.

Ç'(x) = 2[1 + 2(x-4)] = 0

1 + 2x - 8 = 0

2x = 7

x = 7/2 olur.

10.soru;12-a=a-4
2a=16
a=8

12-a=b+3
4=b+3
b=1

a.b=8.1=8

11.soru;

12. soru
İlk karenin bir kenarı: 1 cm
İlk karenin çevresi: 4.1 cm

İkinci karenin bir kenarı: Köşelerde 45-45-90 ikizkenar dik üçgeni ortaya çıktığı için 1/2'nin √2 katı (Çünkü hipotenüsleri, bu ikinci karenin kenarı oluyor.) olan √2/2 cm
İkinci karenin çevresi: 4.(√2/2) cm

İkinci karenin bir kenarı: (1).(1/2).(√2) cm = (1/2).(√2) cm
İkinci karenin çevresi: 4.(1/2).(√2) cm

Üçüncü karenin bir kenarı: (1/2).(√2).(1/2).(√2) cm = (1/2)².(√2)²
Üçüncü karenin çevresi: 4.(1/2)².(√2)² cm

Dördüncü karenin bir kenarı: (1/2)².(√2)².(1/2).(√2) = (1/2)³.(√2)³
Dördüncü karenin çevresi: 4.(1/2)³.(√2)³ cm

...

Bu böyle gider.

Çevreleri toplayalım.

4.1 + 4.(1/2).(√2) + 4.(1/2)².(√2)² + ...

4 parantezine alalım.

4(1 + (1/2).(√2) + (1/2)².(√2)² + ...)

Parantez içinde r'si (1/2).(√2) = √2/2'ye eşit olan ve a(0)'ı 1'e eşit olan bir seri açılımı var. Bu da 1 / 1-r = 1 / 1-(√2/2) = 2 / 2-√2 = 2(2+√2)/2 = 2+2√2'ye eşit olur.

Dışta da bir 4 çarpanı vardı.

4(2 + 2√2) = 8 + 8√2 cm olur.

13. soru
(Tam okunmuyor; ama görüp anlamaya çalıştığım kadarıyla x sanırım -∞'a gidiyor.)

Payın solundaki karekökün içini 4x² parantezine alalım. Bu 4x², karekök dışına |2x| olarak çıkar. x -∞'a gittiği için, yani hep negatif değerler aldığı için, |2x| = -2x olarak çıkar. Karekökün içinde de şu kalır: 1 + 3/4x + 1/4x².

lim(x->-∞) [(-2x)√(1 + 3/4x + 1/4x²) + 4x+1] / 5x+3

Pay ve paydanın dereceleri dikkat edersek aynı: 1. İkisinde de en büyük dereceli terim olarak x'li terimler var: payda 4x-2x = 2x ve paydada 5x.

Limit sonsuza gittiği için kural gereği bunların katsayılarını oranlayabiliriz. Buradan limit 2/5 çıkar.

14. soru
Bir fonksiyonun bir noktada süreksiz olması için fonksiyonun o noktada limiti olmaması gerekir veya o noktada tanımlı olmaması gerekir.

Üstteki fonksiyon kuralında (x≥1 için olan) kesirli bir ifadenin olması, tanımsızlık için hemen incelenmeye adaydır.

x²-4 = 0

Buradan x=2 ve x=-2 gelir. x=-2'yi almıyoruz. Çünkü bu kural, x'in 1'e eşit veya 1'den büyük olması durumunda geçerli. -2 1'den büyük bir sayı değil. Ancak 2 1'den büyük. Dolayısıyla x=2'yi alacağız.

Fonksiyon x=2'de süreksizdir.

Parçalı fonksiyon olması da limitsizlik için risk arz ediyor. Süreksizlik için lim(x->1 (soldan)) = lim(x->1 (sağdan)) = f(1) eşitliği olmamalıdır. (x=1 burada fonksiyonun kritik noktası.)

1'e soldan yaklaşırken alttaki fonksiyon kuralı geçerli olur. x 1'e soldan yaklaştıkça f(x) de 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3'e yaklaşır.

1'e sağdan yaklaşırken de üstteki fonksiyon kuralı geçerli olur. x 1'e sağdan yaklaştıkça f(x) de 1/(1²-4) = -1/3'e yaklaşır.

f(1) için de üstteki fonksiyon kuralı geçerlidir. f(1) = -1/3.

Soldan limitle sağdan limit eşit olmadığı için fonksiyon, x=1 noktasında da süreksizmiş.

Süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamı 1+2 = 3 olur.

15.soru;(-∞,0) aralığında tanımlıymış. Yani x negatif değerler alıyor.

Pozitifmiş. Buna göre f(x) > 0 olur.

Azalanmış. Buna göre de f'(x) < 0 olur.

Şıklardan, aynı aralıkta artan olan fonksiyona sahip olanı bulmamızı istiyor. Artan olması için de 1. türevinin pozitif olması gerekir.

Şıkları fonksiyon adları olarak görelim.

A(x) = f(1/x²)

A'(x) = (1/x²)' . f'(1/x²)

A'(x) = -2/x³ . f'(1/x²)

Şimdi x negatif değerler alıyor. Negatif sayıların tek kuvvetleri de negatiftir. Buna göre paydadaki x³'ten ötürü payda negatif olacak. Ancak payda da -2 var. Negatifin negatife oranı pozitif olduğu için soldaki -2/x³ çarpanı pozitif olur. Şimdi sağdaki f'(1/x²) çarpanına bakalım. Azalan olduğu için fonksiyonun 1. türevinin aynı x değerleri için (yani aynı tanım aralığında) negatif olduğunu söylenmiştik. Dolayısıyla f'(1/x²) çarpanı negatif olur. Pozitifle negatifin çarpımı negatif olur, dolayısıyla A'(x) negatif değerlere sahiptir. Bu da A şıkkındaki fonksiyonun (A(x)'in ) azalan olması demektir.

B(x) = x/f(x)

B'(x) = [f(x) - xf'(x)] / f²(x)

x negatif. f'(x) negatif. xf'(x) pozitif olur. f(x) pozitif. Paydadaki f²(x) her türlü pozitif, çift kuvvetten dolayı. Ancak f(x)-xf'(x) pozitif de olabilir, negatif de olabilir. Çünkü f(x)'in xf'(x)'ten büyük olup olmadığını bilmiyoruz. Eğer büyükse sonuç pozitif, küçükse sonuç negatif olur. Yani B(x) azalan da olabilir, artan da olabilir. Bunun için kesin bir şey söyleyemeyiz.

C(x) = xf(x)

C'(x) = f(x) + xf'(x)

f(x) pozitif. x negatif. f'(x) negatif. xf'(x) pozitif olur. Pozitifle pozitifin toplamı da daima pozitif olur. Dolayısıyla C'(x) daima pozitiftir. Bu nedenle C şıkkındaki fonksiyonun, yani C(x)'in, daima artan olduğunu söyleyebiliriz.

16.soru;Paralel doğruların eğimleri birbirlerine eşit olur. Buna göre eğriye çizilen teğet doğrunun eğimi, y=2x-1 doğrusuna paralel olduğu için, 2 olur. (y=mx+n şeklindeki bir doğru denkleminde "m", doğrunun eğimini verir.)

Eğriye x=a noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi 2 olsun.

y = x²-4 olduğuna göre y' = 2x olur. x=a için 2'ye eşit olmalıdır. 2a = 2'den a=1 gelir. Yani teğet x=1 apsisli noktadan çizilmiş.

Apsisi x=1 ise ordinatı da y=x²-4'te x=1 için y=-3 olur. Koordinatları toplamı 1-3 = -2 olur.

17.soru;x 0'a giderken verilen ifade de 0/0'a gider ki bu bir belirsizliktir. L'Hospital uygulayabiliriz.

Payın türevi: sinx + xcosx
Paydanın türevi: sinx

lim(x->0) (sinx+xcosx)/sinx

Yine 0/0 belirsizliği ortaya çıkmaktadır. Yine L'Hospital uygulayalım.

lim(x->0) (cosx + cosx - xsinx) / cosx = 2/1 = 2 olur.

18.soru;|OC| = k birim olsun. |OA| = x birim olsun.

Şekle dikkatli bakarsak tabanları birbirlerine paralel ve tepe noktaları ortak olan, dik köşeleri orjin olan 2 tane iç içe dik üçgen mevcut. Burada Thales Teoremi uygulayalım, yani benzerlik kuralım.

(4-k)/4 = x/5

20 - 5k = 4x

k = 20-4x / 5 olur.

Şimdi dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu x birimken, diğer kenarının uzunluğu da 20-4x / 5 birim oldu. Alanını x'e bağlı bir fonksiyon olarak yazabiliriz.

A(x) = x(20-4x) / 5 = 20x-4x² / 5

Bizden bunun maksimum değerini istiyor. 1. türevini alıp sıfıra eşitleyelim ve maksimum noktasının apsisini bulalım.

A'(x) = 20-8x / 5 = 0

20-8x = 0

x = 5/2 olur. Maksimum noktasının apsisini bulduk. Ordinatı, yani alanın maksimum değeri de x=5/2 için A(5/2) = (5/2).(20-10) / 5 = 50/10 = 5 br² olur.

19.soru;Taralı bölge, birbirlerine y eksenine göre simetrik olan iki eş parçadan oluştuğu için, birinin alanını bulsak yeterli. Onu 2'yle çarptığımızda ana sonuca ulaşabiliriz. Sağdaki parçanın alanını bulalım.

g(x) fonksiyonunu bilmiyoruz. Ancak soru kökünde bu fonksiyonların birer parabol olduğu söylenmiş. g(x) parabolünün tepe noktası belli: (1,0). y eksenini kestiği nokta da belli: y=1. Parabol denklemini bu verilerden yararlanarak kurabiliriz.

g(x) = a(x-r)²+k

g(x) = a(x-1)²

x=0 için y=1 olmalı. buradan a=1 buluruz.

g(x) = (x-1)² olur.

Sağdaki parçanın alanını da şununla bulabiliriz: [0'dan 1'e] ∫ (x-1)²dx

(x-1)³/3 [0'dan 1'e] = (0) - (-1/3) = 1/3 br²'dir.

Soldaki parçanın alanı da 1/3 br²'dir. Taralı bölgenin alanı da 2/3 br² olur.

20.soru;Parabol x eksenini, y=0 için x=3 ve x=-3 noktalarında keser. y eksenini de x=0 için y=-9 noktasında keser ki (0,-9) noktası aynı zamanda parabolün tepe noktasıdır. İşte tepe noktası (0,-9) olan, x eksenini x=3 ve x=-3 noktalarında kesen, kolları yukarıya doğru U harfi gibi uzayan bir grafiğe sahiptir.

Bize verilen, parabolle paketlendirici doğrular x=-4, x=3 ve x ekseni. Şimdi x=3'te bir sorun yok. Ancak x=-4, parabolün x eksenini kestiği noktalardan biri olan x=-3'ün de solunda kalıyor. Bu nedenle burada da x=-4 doğrusu, parabol kolu, x ekseni ve parabolün x eksenini kestiği x=-3 noktası arasında kalmış küçük bir parça olacak. Bölgenin diğer parçası da doğrudan parabolün x ekseni altında kalan kısmı oluyor.

Bölgenin, parabolün x ekseni altında kalan kısmından oluşan parçasının alanını bulalım.

[-3'ten +3'e] ∫(x²-9)dx =

x³/3 - 9x [-3'ten 3'e] =

(9 - 27) - (-9 + 27) =

(-18) - (18) = -36

İntegralin sonucu negatif çıkabilir. Çünkü biz x ekseninin altında kalan bir alanın ölçüsünü bulduk. Sorun değil. Bizden alan büyüklüğü istediği için bunun mutlak değerini alabiliriz. Yani bu parçanın alanı 36 br²'dir.

Şu x=-4 doğrusundan kaynaklanan, sol üstteki küçük parçanın alanını da bulalım.

[-4'ten -3'e] ∫ (x²-9)dx =

x³/3 - 9x [-4'ten -3'e] =

(-9 + 27) - (-64/3 + 36) =

18 - (36 - 64/3) =

18 - (44/3) =

54-44 / 3 = 10/3 br² olur.

Bütün bölgenin alanı da 10/3 + 36 = 118/3 br² olur.

21.soru;d(√(x²+1) demek √x²+1'in türevini almak demek. Bu da "√(x²+1)'in türevi)dx" demektir.

Şimdi sen bunu, ucundaki dx ifadesiyle tekrar integrale sokuyorsun. Yani türevinin, tekrar x'e göre integralini aldırtıyorsun. Bu yine kendisini vermez mi? Verir.

Dolayısıyla sorulan belirli integral doğrudan şuna eşittir: √(x²+1) [0'dan √24'e]

[√((√24)²+1)] - √(0²+1) =

√25 - 1 = 5 - 1 = 4 olur.

< Bu mesaj bu kişi tarafından değiştirildi Mathematician0 -- 17 Haziran 2011; 20:29:23 >

Süper lys soruları Çözümlü! Son 2 soru!

Benzer içerikler