Yeni Kayıt
Konudaki Resimler
|
Hızlı 
Bildirim
Matematiksel sabit 'e' nedir..?
Sıcak Fırsatlarda Tıklananlar
Editörün Seçtiği Fırsatlar
Bu Konudaki Kullanıcılar:
2 Misafir - 2 Masaüstü
Giriş
Mesaj
-
-
efendim e sayısı, matematik'te muhtelif yerlerde karşımıza çıkan, pi sayısı kadar meşhur olmasa da en az bir o kadar gizemli sayımızdır.
e sayısının (bkz: euler) tarafından bulunduğu, adının bu yüzden e olduğu rivayet edilir; lakin euler'in bu harfi kendi adını düşünmeden, o anda gördüğü ilk boş harfi yazmak suretiyle atadığı da rivayetler dahilindedir.
sayımız hesaplamalarda e ile gösterilir ve hesaplama çok hassas değilse genellikle 2.718 alınır.
sayımızın birinci ve en önemli özelliği doğal logaritmanın, nam ı diğer napier logaritmasının tabanı olmasıdır. (bkz: ln)
sayımız üstel fonksiyonlarda, yarıömür hesaplamalarında hep karşımıza çıkar. türevi kendisine eşit olan tek fonksiyonumuz (0 hariç tabii) f(x) = e^x fonksiyonudur. (e üzeri x)
sayımız a_n = (1 + (1/n))^n dizisinin limitidir. bu şu anlama gelir. 1.1'in 10uncu kuvveti, 1.01'in 100üncü kuvveti, 1.001'in 1000inci kuvveti şeklinde almaya devam ederseniz (hesap makinenizde bir deneyin bakın) sonuçta ulaşacağınız sayı, e sayısıdır. (buradan, örneğin birmilyarbirin birmilyarıncı kuvvetinin soldan ilk iki basamağının 2 ve 7 olduğu sonucuna varabiliriz.)
sayımız, 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... sonsuz toplamının limitidir ayrıca. yani bütün tamsayıların faktöriyellerinin terslerini toplarsanız, elde edeceğiniz sayı e'dir. (bkz: faktöriyel)
e sayımız da irrasyonel bir sayıdır, yani iki sayının bölümü olarak yazılamaz, yani basamakları arasında herhangi bir tekrar vs sözkonusu değildir, sonsuz basamağı vardır, ve bu basamaklar hiçbir tekrar yaratmadan uzayıp giderler. dahası aşkın bir sayıdır, yani katsayıları tamsayılar olan herhangi bir polinomun kökü değildir.
bu kadar girizgahtan sonra sizi güzel sayımızın ilk 500 basamağıyla (unutmayın sonsuz basamağı var aslında) başbaşa bırakıyorum:
2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249
77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713
82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043
57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988
07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675
09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107
53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204
49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306
96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389
78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163
68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698
95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793
32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068
32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 ...
ekşi sözlükten alıntı yaptım arkadaşım. Güzel açıklamış bana göre.
-
bu soruyla daha öncede karşılaşmıştım bir matematiikçi olarak ama böyle net bir cevap alamamıştım arkadşıma sorusu sanada cevabın için teşekkürler :) -
harun.dll çok teşekkür ederim.. e sabitinin nereden geldiğini bize aktardın.. Bunu kavradık fakat üzülerek söylüyorum ki fiziksel anlamını hala kavrayabilmiş değilim.. Yani pi sayısını hem matematiksel hem fiziksel olarak algılayabiliyoruz. "e" sabitini algılamak baya bi g.t istiyo sanırım...
Demek istediğim 2.pi.r = çemberin çevresi dediğimizde pi sayısının neden orda bulunması gerektiğini anlıyoruz. Pİ çevrenin çapa oranı olduğu için onu 2r ile yani çap ile çarptığımızda tekar çevreyi bulmamız lazım.. Aynı şekilde "e" sayısı için bu şekilde insan mantığının da onay verdiği bir eşitlik verebilir mi birisi..?
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... neyi ifade etmektedir..?
Sanırım derdimi anlatabildim.. Pi sayısının mantığımıza oturan ayrı bir yönü var ama e ninkini görebilmiş değilim.. yanıtın için tekrar teşekkürler harun.dll
-
Ben de aklımda kalanları aktarmaya çalışayım;
Yukarıda bahsedildiği gibi e sayısı bir limit değerdir.Yani (1+(1/n))^n sayı dizisinin n sonsuza doğru değerler alırken yakınsadığı bir sabit değerdir.Bunun pratikteki anlamını soruyorsun sanırım.
e sayısı özellikle çok büyük ve çok küçük sayılarla uğraşılan alanlarda epey işe yarıyor.Astronomi ve Kuantum fiziğinde epey kullanılıyor.Logaritma fonksiyonunu biliyorsundur sanırım.Üstel fonksiyonların bir başka ifadesidir.O fonksiyonlar tanımlanırken a sıfırdan farklı sabit sayısının yerine 10 ve e sayısı konularak logaritmik tablolar oluşturulur.
Şöyle ifade edeyim sıfırdan farklı x reel sayılarının e tabanındaki karşılıkları(y) bir tablo halinde yazılır.Aynı şekilde 10 tabanındaki değerleride bir tablo haline getirilir.
Bunun matematiksel ifadesi e tabanında y=lnx'dir.e üssü y sayısı bize x değerini verecektir.
veya y=logx ;10 üssü y değerleri bize x değerlerini verecektir.
Adamlar şöyle düşünmüş;elimizde bir x reel sayısı var.Bu sayıyı 10 luk tabanda nasıl yazarız.Yani 10'nun kaçıncı kuvveti bize x değerini verir.Aynı şeyi e sayısı için de düşünmüşler, tüm reel sayılar e tabanında nasıl ifade edilebilir ve işte böylece logaritmik fonksiyonların e tabanındaki ifadesi olan "lnx" fonksiyonu ortaya çıkmış.
Çok somut son bir örnek vereyim 100 sayısını ele alalım.Bu sayı e tabanında nasıl yazılabilir.Bir başka ifadeyle bu sayı e sayısının kaçıncı kuvveti olarak ifade edilebilir;
Hemen logaritmik fonksiyon devreye girer ve y=ln100 bize yaklaşık 4.6 değerini verir.Yani e üssü ~4.6 bize 100 değerini verir.Hesap makinası yanındaysa mesela 1 milyon sayısının ln değerine bir bak.
ln1000000=13.8 'dir
Böylece çok büyük sayıların exponansiyel değerleri yani e tabanındaki değerleri daha küçük bir şekilde ifade edilebilirler;
Bazen teorilerin ispatı yapılırken bu "e" ifadesinin gerçek açılımı olan limit değeri veya binom açılımı şeklinde olan gösterimi denklem içerisinde yerine konulur ve gerekli sadeleştirmeler için olanak sağlar.
Yani cins,bir nevi ispatlamalarda numara yapmamıza da yarıyor euler sayısı.Ama asıl marifeti büyük sayıların bir gösterimi olmasıdır.
Belkide biraz karışık anlatmış olabilirim ama analiz derslerinden aklımda kalanını aktarmaya çalıştım.
-
Evet feylosof bu matematiksel illetin ne işe yaradığını sayende biraz daha kavradım.. "Büyük sayıları ifade etmenin diğer bir yolu" şeklindeki yorumuna şüpheli yaklaşıyorum çünkü e yerine daha büyük bir taban seçilebilirdi sanıyorum.. Fakat ispatlama işlemleri yapılırken matematiksel oyun amaçlı olarak kullanılıyor açıklaman aklıma yattı. Hiç hesapta yokken üzerinde uğraştığımız denkleme aniden ışınlanmasının sebebini açıklıyor bu.. Teşekkürler... -
quote:
Orjinalden alıntı: [cins]
Evet feylosof bu matematiksel illetin ne işe yaradığını sayende biraz daha kavradım.. "Büyük sayıları ifade etmenin diğer bir yolu" şeklindeki yorumuna şüpheli yaklaşıyorum çünkü e yerine daha büyük bir taban seçilebilirdi sanıyorum.. Fakat ispatlama işlemleri yapılırken matematiksel oyun amaçlı olarak kullanılıyor açıklaman aklıma yattı. Hiç hesapta yokken üzerinde uğraştığımız denkleme aniden ışınlanmasının sebebini açıklıyor bu.. Teşekkürler...
Rica ederim.
Gerçekten çok özel bir sayı,integral hesaplamalarda,türevlerde dolayısıyla da eğri alan hesaplarında sürekli karşımıza çıkan bir sayı.Bir sayı dizisi limiti,fonksiyon dizisi limiti,bir seri toplamı,binom açılımı şeklinde türlü türlü ifadeleri olduğu için bu özel sayı logaritmik tablolarda yerini almış sanırım.Bahsettiğin gibi daha büyük bir taban değeri zaten kullanılıyor.
Ben de matematiksel ifadelerin ne olduğunu iyice kavramadan hiçbir ispatı anlayamazdım ve önce tüm temel kavramları anlamaya çalışırdım.Anlamadan ezberlemeye çalıştığımda açıkçası çuvallıyorum.Hatta birçok denklemi ezberleyemediğim için en baştan ispatlama yöntemiyle denklemi çıkarır ve öyle yazardım.
-
Siz gene iyisiniz, bir de karmaşık sayılarda geçen "i" sayısı hepten cozutuk birşey. Eksi birin karekökü imiş 
. Bu karmaşık sayılar meselesi de elektriğin "alternatif akım" konusu altında bol bol geçer ben bu "i" yi düşüneceğim diye dersleri dinleyemedim. Eksi birin karekökü, kendisi tanımsız çünkü bize en baştan "eksili sayıların karekökü olmaz" diye öğretmemişler miydi?
.
.
.
.
.
.
Şaka bir yana aslında o kadar kasmaya gerek yok. Çünkü matematik bir araçtır. İnsanların yarattığı bir araç. İnsanların matematik gibi kendi yarattıkları bir araca sonradan taparcasına hayret etmeleri ilginç. Mesela "n" sayısı vardır, "pi" sayısı vardır. "e" sayısı vardır, bunlar insanların çıkardığı kavramlar. işe yarıyor mu...yarıyor...Bitti
Kalın sağlıcakla
-
Vallaa keşke dediğin pencereden bakabilsem kaotika.. İşin ayrıntısına fazla girmekten ana temayı kaçırıyorum bazen... -
matematik evet insan yapımı bir şey ama birbirinden alakasız kavramların denklem sağlamaları hakkaten de hayret verici.
e^(i*pi)+1 = 0
matematiğin en temel 5 değeri. bir denklemde.özellikle elektronikte çok işe yarar zira trigonometrik fonksiyonları cebirsel fonksiyonlara bağlar. ki ben de bu bölümde okuyorum.
< Bu mesaj bu kişi tarafından değiştirildi Lacrima -- 12 Eylül 2005, 13:43:29 > -
bi de boyle e, pi gibi sayılara transandantal sayılar denir. bunun ne oldugu ek$i sozlukte gayet iyi acıklanmıs;
bu tip sayılar rasyonel sayılardan değillerdir, yani kesir biçminde ifade edilemezler. irrasyonel olmalarına rağmen çoğu irrasyonel sayı* gibi, karekök, log vesaire cinsinden de ifade edilemezler. aslına bakılırsa bu tip sayılar ifade edilemezler, olayları budur, bu sayıların tamamı kağıt üstüne yazılamaz, virgülden sonra hiç bitmeyen bir sayı dizisine sahiptirler, işin kötüsü bu dizi kurallı bir dizi değildir, sonraki sayının ne olacağına ilişkin hiçbir kural bulunamaz, kendini de tekrar etmez. en ünlü transandantal sayı "pi sayısı"dır, ikinci en ünlüsü ise "e sayısı"dır, üçüncü bir transandantal sayı ise var mıdır ben bilemiyorum. -
Verdiğin denklem gerçekten ilginçmiş.. Arada bi bağ varmış gibi.. ama mtematik bilgim bu bağı kavramaya yetmiyo tabi :) -
ben pi sayısının da hikayesini merak ediyorum.bir arkadaşım ısrarla diyor: pi sayısını, dairenin çevresini ölçüp çapına bölüp öyle buldular. :) hehe. yav yapma allahaşkına katlettin bilimi diyorum. oda aynı şekilde ya sen manyakmısın nasıl bulacaklar tabi öyle buldular diyor. bu arada pi sayısının tam değeri 22/7 değil bunuda söylim.
Biri pi sayısının hikayesini de anlatırsa memnun olurum.Bunu ilk mısırlılar bulmuş heralde ama nasıl bulmuşlar.nerden yola çıkarak bulmuşlar ve neden gerek duymuşlar bilen var mı acaba.
alında e sayısını da tam anlamadım ama bida okuycam. -
pi sayısı hesaplamak için ayrıca kullanılabilecek
pi=sqrt{6*(1+(1/4)+(1/9)+(1/16)+(1/25)...)} formulunu de aşmış şahsiyet euler bulmuştur.
daha değişik formullerde var mesela;
pi=16*arctan 1/5 - 4*arctan 1/239
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 ....
2/pi = 1+4/(1+9/(1+16/(1+...) ) )
pi=2{(2/1)*(2/3)*(4/3)*(4/5)*(6/5)*(6/7)...} gibi
yukardaki denklemlerin hic biri pi'nin gercek degerini vermez, yaklasık degerler verirler. 40 basamaktan sonrasini hesaplamalara katmak, bilinen en uzak yildiz sisteminin dunyayla arasindaki mesafeyi bulurken kil boyu kadar hata toleransi verdiginden dolayi, en ince muhendislik hesaplamalarinda bile 5 basamakli pi sayisi yeter de artar, o yüzden gerçek değerini bulmaya çalışmak matematik geeklerinin işidir. bulsunlar tabi kolay gelsin.
< Bu mesaj bu kişi tarafından değiştirildi Lacrima -- 13 Eylül 2005, 9:20:21 > -
quote:
Orjinalden alıntı: feylesof
Çok somut son bir örnek vereyim 100 sayısını ele alalım.Bu sayı e tabanında nasıl yazılabilir.Bir başka ifadeyle bu sayı e sayısının kaçıncı kuvveti olarak ifade edilebilir;
Hemen logaritmik fonksiyon devreye girer ve y=ln100 bize yaklaşık 4.6 değerini verir.Yani e üssü ~4.6 bize 100 değerini verir.
Konuyu bölmek adına değil ama gözden kaçmış herhalde e^4.6 bize 100 değerini vermiyor. -
quote:
Orjinalden alıntı: cc.ali
quote:
Orjinalden alıntı: feylesof
Çok somut son bir örnek vereyim 100 sayısını ele alalım.Bu sayı e tabanında nasıl yazılabilir.Bir başka ifadeyle bu sayı e sayısının kaçıncı kuvveti olarak ifade edilebilir;
Hemen logaritmik fonksiyon devreye girer ve y=ln100 bize yaklaşık 4.6 değerini verir.Yani e üssü ~4.6 bize 100 değerini verir.
Konuyu bölmek adına değil ama gözden kaçmış herhalde e^4.6 bize 100 değerini vermiyor.
Yoo, gayette öyle bir kere
y=ln100 ---> y=4.605170186 -
e^(i.pi)+1 = 0
e^(i.pi)=-1
(e^(i.pi))^2=(-1)^2
e^2.i.pi=1=e^0
2.i.pi=0
o zaman
i=0 veya pi=0
nerede yanlış yapıyorum -
quote:
Orjinalden alıntı: pacman
(e^(i.pi))^2=(-1)^2
e^2.i.pi=1=e^0
nerede yanlış yapıyorum
tam olarak burda
< Bu mesaj bu kişi tarafından değiştirildi kargaşa -- 4 Ekim 2005, 16:20:12 > -
anlamadım nerede
e^(i*pi)=-1
(e^(i*pi))^2=(-1)^2
e^(2*i*pi)=1
e^(2*i*pi)=e^0
değil mi.. -
taylor acilimlarindan yapılıyor fonk ispatı elimizde su formuller var:
exp(x)=1+x/1!+(x^2)/2!+(x^3)/3!+(x^4)/4!+...
sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!+...
cos(x)=1-(x^2)/2!-(x^4)/4!-(x^6)/6!+...
i,nin kuvvetleri periyodik olarak 1, i, -1, -i degerlerini aldigindan exp(ix) fonksiyonunun acilimi, terimleri duzenledikten sonra, cos(x)+isin(x) olur. x'in yerine pi koyarsak
exp(i.pi)=cos(pi)+isin(pi)=-1, yani e uzeri i pi arti 1 esittir 0.
Benzer içerikler
- olmaya devlet cihanda bir nefes sıhhat gibi"" sözünün anlamı kısaca
- nazım hikmet atatürk düşmanı mı
- internet hakkında ne düşünüyorsunuz
- mitolojik isimler
- kafasından vurulan insan ne hisseder
- seri katiller
- teslim alınmayan kimlik nereye gider
- mars fotoğrafları
- dünyada en çok konuşulan diller
- dünyanın en büyük yolcu gemisi
Ip işlemleri
Bu mesaj IP'si ile atılan mesajları ara Bu kullanıcının son IP'si ile atılan mesajları ara Bu mesaj IP'si ile kullanıcı ara Bu kullanıcının son IP'si ile kullanıcı ara
KAPAT X
Bu mesaj IP'si ile atılan mesajları ara Bu kullanıcının son IP'si ile atılan mesajları ara Bu mesaj IP'si ile kullanıcı ara Bu kullanıcının son IP'si ile kullanıcı ara
KAPAT X
