f(f) neden eşittir f^2 ye

Link:  https://i.ibb.co/NSmd13J/fnx.jpg

Yani burada "f²x" derken f(x)'in karesini kastetmiyor,

f²(x) = (f∘f)(x) = f(f(x))'i kastediyor. Normalde bu sembol kullanıldığında bu iki anlamdan hangisi için kullanıldığının açıkça belirtilmesi lazım. Gerçi burada örneklerle bileşke anlamını kastettiği anlaşılabiliyor ama yine de karışıklığa sebep olmuş.

Bu sembolde n'in etrafında parantezler olduğunda da, "f'in n. dereceden türevi" anlamına geliyor, yani "f'in "n" kere türevini al".

Bu konuda kafanın karışması normal, videoda hoca sembolleri baya yanlış kullanıyor.

"f(x)=x³" e bakalım mesela, burada "f" fonksiyonun adıdır (yani bir değişken vs. değildir), "x"; f fonksiyonunun içine koyduğumuz değişkendir. Buna göre de kural belirlenmiş, yani f fonksiyonunun içine x değişkenini koyduğumuzda; sonuç olarak "x'in kübü olan sayı"yı veriyor demiş oluyoruz. Ama

"f = x³" dersek, bunun hiçbir anlamı yok, doğru bir kullanım değil bir kere. f bir değişken değil ki x³'e eşit olsun. f = fonksiyon adı.

Hoca mesela f³ = (x-1)/(x+1) demiş, bu hiçbir anlamı olmayan bir ifade,

f³(x)=(x-1)/(x+1) denmesi gerekiyor. Ben tek başına "f(f)" diye bir şeyin kullanıldığını görmedim, bir anlamı da yok. "f∘f" tek başına olur, yani tek başına olurdan kastım: nasıl "f" bir fonksiyon adıysa, "f∘f" de fonksiyonun adıdır, hatta h=f∘f diyebiliriz, "h" da fonksiyon adı. Sonra da bu fonksiyonun içine bir x değeri koyarız, yani "f∘f" fonksiyonunun içine x değeri koyup kuralını ifade ederiz,

(f∘f)(x)=...

(f∘f)(x)=f(f(x))'tir, yani,

önce x'i f fonksiyonunun içine koyup, sonuç olarak yeni bir sayı elde edeceğiz, bu sayı da "f(x)" sayısıdır, (belli bir x sayısı için "f(x)" de bir sayıdır, örneğin bir f fonksiyonu için f(3)=5 olabilir, yani "f(3)" bir sayı). Sonra da bu "f(x)" sayısını da tekrar f fonksiyonunun içine koyup, bu şekilde de yeni bir sayı elde ediyoruz, bu sayı da "f(f(x))" sayısı.

Şöyle:

Resim linki: https://i.ibb.co/nCqpFHC/f-n-x.jpg

Rica ederim.

Çözüm şöyle:

önce (f∘f)(x)=f(f(x))'i bulalım, bu, f'in içine f(x)'i koymak demek,

(f∘f)(x) = f(f(x)) = (-1/x), sonra bir sonrakini bulalım yani 3 kere bileşke alınmış halini, bunun için de f'in içine f(f(x))'i koymuş oluyoruz, aşağıda kırmızıyla gösterdiğim gibi,

(f∘f∘f)(x) = f(f(f(x))) = (x-1)/(x+1), bir sonrakini de bulalım, şimdi f'in içine f(f(f(x))))'i koymuş oluyoruz,

(f∘f∘f∘f)(x) = f(f(f(f(x)))) = x. Şimdi bu sonuncusunun x gelmesi önemli, demek ki buradan sonra her şey başa dönecek, yani bir sonraki iterasyon olan

f^5(x)=(f∘f∘f∘f∘f)(x)'i bulmak için ne yapacağız, f'in içine dördüncüyü yani "f(f(f(f(x))))" i koyacağız, ama

f(f(f(f(x))))=x olduğu için, bu; f'in içine "x" koymak demek, yani

(f∘f∘f∘f∘f)(x)=f(f(f(f(f(x))))) = f(x), yani başa döndük, buradan sonra her şey ilk 4 taneyi yaparken nasıl gittiyse öyle gidecek, yani

f^5(x)=f(x),

f^6(x)=f^2(x),

f^7(x)=f^3(x),

f^8(x)=f^4(x)=x.

--------------------

f^9(x)=f(f^8(x))=f(x),

f^10(x) = f^2(x),

f^11(x) = f^3(x),

f^12(x) = f^4(x).

Kısacası 4 ile bölümünden kalan 1 olanlar f(x)'in kendisine,

4 ile bölümünden kalan 2 olanlar f^2(x)'e,

4 ile bölümünden kalan 3 olanlar f^3(x)'e,

4 ile bölümünden kalan 0 olanlar yani 4'e tam bölünenler, f^4(x)'e eşit.

2019'un 4 ile bölümünden kalan = 3 olduğu için

f^2019(x) = f^3(x) = (f∘f∘f)(x) = (x-1)/(x+1).

Rica ederim. 👍 Aynen dediğin gibi mod olayı. mod 4'te 1'e denk olanlar f(x)'e, mod 4'te 2'ye denk olanlar f²(x)=(f∘f)(x)'e eşit, şeklinde.

O doğrunun denklemini bulmayı diyorsun değil mi, o formülü hiç ezberlemene ve kullanmana gerek yok, hem de o formülle daha yavaş olursun. Doğru denklemi nasıldır:

y=f(x)=mx+b (sorudaki f(x)'ten bahsetmiyorum, sorudan bağımsız; genel bir anlatım yapıyorum, f(x)'in grafiği bir doğru belirtiyor olsun).

x yerine 0 sıfır yazarsak y=f(0)=b geldiğini görürüz, yani "mx+b" formatında "b" sayısı, doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatına eşittir. Şimdi mesele eğimi bulmak, bu da çok kolay. Doğruya baktığımızda görüyoruz ki bu fonksiyon azalan bir fonksiyon, yani x değerleri arttıkça f(x) azalıyor, grafikte sağa gittikçe doğru aşağıya gidiyor. Azalan fonksiyon olduğu için eğimi negatiftir, yani bu doğrunun eğimi öncelikle negatif bir sayı çıkacak. Eğim şudur:

y'deki değişimin x'deki değişime oranı, yani

eğim = y'deki değişim/x'deki değişim. Doğrunun üzerinde bildiğimiz 2 noktaya bakarak bu oranı buluruz; (0,3) ve (3,0) noktalarını biliyoruz, bu noktalara bakarsak y'deki değişimin sayısal değeri = 3, x'deki değişimin sayısal değeri de 3, bu yüzden 3/3=1, yani bu doğrunun eğimi ya 1'dir, ya da -1'dir, azalan fonksiyon olduğu için -1'dir, yani eğim=m=-1.

Doğrunun denklemi: y = mx+b = (-1)x+3 = -x+3.

Mesela aşağıdaki doğru için,

Resim linki: https://i.ibb.co/B29z2Fd/do-ru-e-im.jpg

Eğim mx+b formatındadır, doğruya bakınca artan fonksiyon olduğunu görüyoruz, yani grafikte sağa gittikçe grafik yukarı gidiyor, bu yüzden; artan fonksiyon olduğu için eğimi pozitiftir. y'deki değişimin sayısal değeri/x'tek değişimin sayısal değeri = 5/2, azalan fonksiyon olsaydı eğim -5/2 olurdu, artan fonksiyon olduğu için

eğim=m=5/2. y eksenini kestiği noktanın ordinatı = b = -5, yani f(0)=-5, doğrunun eğimi:

y=(5/2)x+(-5) = (5/2)x-5.

Kusura bakma, ben soruyu unutup kendim o doğruya f(x) ismini vermişim. Yani soruda olan f(x)'ten bahsetmiyorum, sadece doğruyu düşünelim, rastgele bir şekilde o doğruya f(x) diye isim verdim, genel bir anlatım yaptım. Rastgele bir doğru için, o doğruyu belirten fonksiyon f fonksiyonu ise,

y=f(x)=mx+b'dir,

f(0)=b olduğu için, "b" sayısı, doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatını belirtir.

Matematik okumadım, ama matematikle ilgiliyim. Burada takılmak da biraz alışkanlık oldu, elimden geldiğince yardımcı olmaya çalışıyorum. Özel ders vermeyi de planlıyorum ama hala başlayamadım