Üye Girişi
Bağlan Google+ ile Bağlan Facebook ile Bağlan
Yeni Kayıt
Tüm Forumlar
  • Tüm Forumlar
  • Eğitim ve Sınavlar
  • Liseler
  • Bu Konuda
Şimdi Ara

Türev Problemleri ve Lagrange Fonksiyonu (Canı sıkılanlara)

Sıcak Fırsatlarda Tıklananlar
Editörün Seçtiği Fırsatlar
Bu Konudaki Kullanıcılar:
2 Misafir - 2 Masaüstü
5 sn
13
Cevap
30
Favori
10.968
Tıklama
Daha Fazla
İstatistik
  • Konu İstatistikleri Yükleniyor
Konuya Özel
3 oy
Öne Çıkar
Cevapla
Sayfa: 1
Giriş
Mesaj
  • Merhaba arkadaşlar, ilk defa olarak bir konu anlatımı, konu anlatımı da demeyelim de basit bir örnek gösterimi için konu açtım.
    Amaç bugünlerde canı sıkılan arkadaşlara yeni birşey göstererek sıkıntılarını almak.

    Örnek bir türev problemi ele alalım.

    Soru: Bir kenarında duvar bulunan dikdörtgen bir bahçenin 3 kenarı telle örülmüştür. Kullanılan telin uzunluğu 80m olduğuna göre bahçenin alanı en fazla kaç m^2 olabilir?

    Çözüm: Öncelikle kafamızda bahçenin şeklini canlandıralım.

    Türev Problemleri ve Lagrange Fonksiyonu (Canı sıkılanlara)


    Şimdi de kendi çözüm yöntemlerimizle başlayalım diyelim ki.
    2x+y = 80 olmalı uzunluk sınırımızdan dolayı.

    sonra bahçenin alan fonksiyonunu yazalım.
    A = x*y dir herkesin bildiği üzere. Bunu üstteki denklem ile birleştirirsek,
    A = x*(80-2x) olmaktadır.
    A= -2x^2 +80x olarak karşımıza çıkar. Bunun maksimum halini bulmak için türevini alırız ve sıfıra eşitleriz.

    A' = -4x +80 = 0 => x = 20 olarak karşımıza çıkar. Buradan da Alan fonksiyonumuza değerimizi koyarak.

    A(20) = 20*(80- 2*20) = 800m^2 olarak sonucu buluruz.

    Peki bizim yeni öğreneceğimiz olay nedir? Soruyu sihirli bir şekilde çözmek;

    Tekrardan başlıyoruz soruya;

    A= x*y idi. ve 2x+y = 80 idi. E o zaman, 2x+y-80 = 0 olur 2. denklemden.

    2. denklemimizin her 2 tarafını güzel bir sayı olan K ile çarpalım. K'yı henüz bilmiyoruz ama güzel bir sayı.

    K*(2x+y-80) = 0*K = 0 olur. Peki ben bu eşitliği biliyorum. Bu sıfır peki ben A - 0 = A olduğunu da biliyorum. Sıfır yerine bunu koyarsam ne olur? Sonucu etkilememeli.

    A = xy - K*(2x+y-80) olur. Şimdi ise geldik yöntemi uygulamaya. Şimdi yine türev kullanmamız lazım kullanalım. Fakat 2 değişken var ne yapacağız? E diyeceğiz ki haksızlık olmasın birini sabit görelim diğerine göre türev alalım sonra da diğerini sabit görelim öbürüne göre türev alalım.
    Fakat aldığımız türevleri şu resimdeki gibi gösterelim;


    Ax = y - 2*K (A'nın x'e göre türevi) ve
    Ay = x - K olur. Bunları üstte yaptığımız gibi haksızlık olmasın her 2 sini de sıfıra eşitleriz.

    y = 2K ve x = K olarak buluruz. Peki K neyin nesi dersek onu bulmak için ise;

    2x+y = 80 denklemimizden yararlanacağız. x ve y yi K cinsinden yerine koyarsak;

    2K +2K = 80 => K = 20

    buradan x=K = 20 sonucuna yine ulaşırız. y = 40 zaten A = x*y idi 40*20 den 800 sonucuna yine geliriz.
    ____________________________________________________________________________________________________________________

    Başka bir örnekle işe devam etmek istiyorum.

    Soru2: y= 5x -x^2 parabolünün hangi x değeri için x+y maksimum olur.

    Çözüm2: hemen fonksiyonumuzu yazıyoruz. F = x+y 'dir. Sonra da her zaman sağlanan şartımız y +x^2 -5x = 0 oluyor.

    F = x+y - K*(y +x^2 -5x) yazabiliyoruz.

    Fx = 1 - K*(2x-5)
    Fy = 1 - K olur. Her 2 sini de sıfıra eşitlersek direk Fy denklemimizden K = 1 olduğu gözüküyor.

    1 - K*(2x-5) = 0 idi. K yı yerine koyarsam.

    1-2x+5 = 0
    x = 3 bulunur. Yani x=3 noktasında F fonksiyonu maksimum değerini alır.
    _______________________________________________________________________________

    Okuduğunuz için teşekkürler, umarım can sıkıntınız gitmiş mutlu olmuşsunuzdur. Yeni bilgiler öğrenmek insanları mutlu eder. Peki bunu nerede kullanacağız derseniz isterseniz hiç kullanmayın fark etmez ama aklınızda haa böyle şeyler de varmış diyebilirsiniz. Boş zamanlarınızda araştırırsınız. Matematik bölümü okuyacak veya matematiği seven arkadaşlara da bir ışık olur.







  • Paylaşım için teşekkürler, emeğine sağlık.
  • Deine konu ist super hany ;)
  • Sana şimdi arctanx'in türevini alacağım. Sen de buna bakarak diğer arcları çıkart.

    y = arctanx
    x = tany
    dx = (1+(tany)^2)dy her 2 tarafı dy ile bölelim.

    dx/dy = (1+(tany)^2) her 2 tarafı çarpmaya göre ters çevirelim;

    dy/dx = 1/(1+(tany)^2)

    en başta zaten x = tany kabulümüz vardı.

    dy/dx = 1/(1+x^2)
    alıntı spyxxxx


    hocam bu tür bilgilerinizi de konuya toplamanız güzel olur hepsini okumaya çalışıyorm arada kalıp harcanmasın
    integraf için beklemedeyizkonu takip
  • arctanu

    u dediğimiz birşey x'e bağlı bir fonksiyon olsun.

    y = arctanu
    u = tany olur. Sol tarafı x'e göre diferansiyel alırız çünkü x'e bağlı bir fonksiyon.

    u'.dx = (1+(tany)^2)dy yine dy yi sola atarız.

    u'.dx/dy = (1+(tany)^2) çarpmaya göre ters alırız.


    dy/(dx.u') = (1+u^2) u' ifadesini sağa atarsak;

    dy/dx = u'/(1+u^2) genel olarak türev ifadesini çıkartmış olduk. Yanisiyle;


    arctan(2x) bunun türevi

    u' = 2 olmak üzre;

    2/(1+4x^2) olacaktır.
    _____________________________________________


    y = arcsin(x)
    x = siny

    dx = cosydy

    dy/dx = 1/cosy cosy = kök(1-(siny)^2) ve siny = x idi.

    dy/dx = 1/kök(1-x^2)
    _________________________________________

    Arcsecx

    http://www.sketchtoy.com/28676366




  • Emeğine sağlık hocam.
  • konu güme gitmiş. emeğine sağlık hocam. böyle konuların yukarıda olması lazım
  • quote:

    Orijinalden alıntı: gambitplayer

    konu güme gitmiş. emeğine sağlık hocam. böyle konuların yukarıda olması lazım

    Konuyu yukarı taşıyan bu arkadaşımızın şerefine birşey daha yazayım. Kısa bir yol değil ama birçok insanın denemediğine eminim.

    y = x^2 + 2x +2 fonksiyonunun tersini bulalım. (Tabi bu bir parabol olduğundan tersi bir fonksiyon belirtmeyecektir, tanım ve değer kümelerinde oynama yapmadıkça)

    Normal yollarla çözüm;

    Öncelikle her 2 taraftan 1 çıkartılır;

    y-1 = x^2 +2x +1 olur. (Tam kare gözükür.)

    y-1 = (x+1)^2 olduğu fark edilir. Her 2 taraf kök içine alınır.


    +-kök(y-1) = x+1 (+- koydum çünkü aslında o bir mutlak değer 9 = x^2 dersek x = -kök9 ve +kök9 çıkar ya o hesap)

    x = +- kök(y-1) -1 olduğu açıkça gözükür. Peki başka bir yol gerçekten var mı?


    II. yol;

    x^2 +2x+2-y =0 olarak her terim tek tarafa toplanır. Sonra y bir sabit gibi kabul edilir. 2. dereceden denklem çözülür.

    delta = b^2 -4ac = 4 - 4*(2-y) = 4*(y-1) olacaktır.

    Kök bulma denklemimiz belli;

    x = (-b +- kökdelta)/2a oluyor.

    x = (-2 +-kök(4*(y-1))/2 olacaktır. 4 kök dışına 2 olarak çıkar ve pay payda sadeleşir.

    x = -1 +-kök(y-1) olduğu açıkça gözükür.

    Ne işimize yaradı yolu uzatmak derseniz, ufkumuz açıldı. Ki bizim gibi bilim severlerin istediği de bu.




  • Mesajım bulunsun da. Böyle konular neden harcanıyor
  • evet böyle konular harcanmamalı
  • Eline sağlık çok iyi düşünmüşsün. Buna benzer konuları nerden öğrenebileceğimizi söyler misin?. Konu ismi de yeter aslında.
  • Anlamadım ama kesin iyi is cıkarm8ssındır

    < Bu ileti mobil sürüm kullanılarak atıldı >
  • Arkadaslar uzun zamandir buraya yazmamistim simdi birazcik yazmak istiyorum.

    Simdiki basligim

    Cosinus ve sinuse bir vektor bakisi;

    Arkadaslar simdi sinus(A) seklinde bir A acisinin sinusunu alalim. Bunu ekranda yatay bir cizgi olarak gosterelim.

    Türev Problemleri ve Lagrange Fonksiyonu (Canı sıkılanlara)


    Simdi akliniza sey gelsin birim cember gibi bir sey. Burada ondan minik farkli bir sey yapacagiz sakin akliniz karismasin. Simdi ben diyecegim ki saat yonunun tersinde aci sayalim 90 derece. 90 derece sonra kime variriz? Cosinuse tabi ki.

    Cunku:

    cos(A) = sin(A+90) degil mi? Hemen onu da cizelim.

    Türev Problemleri ve Lagrange Fonksiyonu (Canı sıkılanlara)


    biliyorum hep tam tersi halde gordunuz bu eksenleri ancak onlarin mantigi farkliydi bununki daha farkli. Simdi diyelim ki biz toplam formulunu bulmak istiyoruz sinusun. Yanisi sin(A+B) arayisindayiz. Yani sin(A+B) hani sin(A) dan B acisi kadar ondedir hemen cizelim.

    Türev Problemleri ve Lagrange Fonksiyonu (Canı sıkılanlara)


    Simdi burada sanki vektormus gibi bakiyoruz. Resmi biraz degistirelim.

    Türev Problemleri ve Lagrange Fonksiyonu (Canı sıkılanlara)


    Bu resim uzerinden vektoru yazalim. Vektor 2 bilesene ayrilabilir demi? i ve j birim vektorleri yonunde.

    Dersiniz ki:

    X = |X|*cos(B) *i + |X|*sin(B) * j degil mi? Burada X vektorumuzun boyu 1 birim olursa;

    X = cos(B)*i + sin(B) *j olur mu?

    Hemen bir onceki resme donuyoruz biz ismini degistirmistik eksenlerin degil mi?

    X + sin(A+B) idi

    i = sin(A) idi
    j = cos(A) idi. Hemen ustte yerine yazalim.

    sin(A+B) = cos(B)*sin(A) + sin(B) * cos(A)

    forumulumuzu bulduk

    Simdi bir de cos(A+B) icin deneyelim ayni numara tutacak mi diye?
    Yalniz unutmayalim bu sefer vektorumuz cos(A) dan B kadar ileride. Yani su sekilde cizecegiz.

    Türev Problemleri ve Lagrange Fonksiyonu (Canı sıkılanlara)


    Simdi ustte yavas anlattigimi hizlica yazacagim artik vektoru ayiralim.

    cos(A+B) = cos(B)*cos(A) - sin(B)*sin(A)

    Bakin aradaki eksi isareti eksenin diger kisminda olmasindan dolayi geliyor. Yani bu vektorun golgesi sinus(A) ekseninin negatif kismina dusuyor dikkat.

    Ayni olayi matris ile de yapabilirdik bu arada. Bilerek resimde belirttim 90 derece fark oldugunu. 90 derece dondurme matrisimiz var. Bu matris de

    T =

    0 -1
    1 0

    Seklinde yazilabilir. Bilirsiniz ki vektorler dikine matrislerle ifade edilir (bilmiyorsaniz da artik biliyorsunuz) Vektor yonlerindeki degerleri buraya yazabiliriz.

    Yani sin(A) ve cos(A) yi birim baz vektorler cinsinden aldiginizda;

    sin(A+B) = cos(B)*sin(A) + sin(B) * cos(A) vektoru matris formatinda su sekilde gosterilir.

    V =

    cos(B)
    sin(B)


    bakin alt alta yaziyorum karistirmayin bunlar matristir. Bu vektoru 90 derece dondurdugumuzde ustteki matrisle carparak;

    V2 =

    -sin(B)
    cos(B) olacaktir. Bunu da matris formundan ustteki forma sokarsak;

    sin(A+B+90) = -sin(B)*sin(A) + cos(B)*cos(A)

    yine ayni formulu elde ettik.

    Simdi madem bu kadar sey anlattik ben de bir soru sorayim. Bu yaptigimiz islemi (ustteki vektor olaylari) tan(A+B) yani tanjant fonksiyonu ile yapabilir miyiz? Yaparsak nasil yapariz? Yapamazsak neden yapamayiz?




    • 
Sayfa: 1

Benzer içerikler

- x
Bildirim
mesajınız kopyalandı (ctrl+v) yapıştırmak istediğiniz yere yapıştırabilirsiniz.
Hizmet kalitesi için çerezleri kullanabiliriz. DH’ye girerek kullanım izni vermiş sayılırsınız.
Anladım Veri Politikamız